مقدمه­ای بر مفهوم رياضيات

عنوان مقاله: مقدمه­ای بر مفهوم رياضيات

An Introduction to Mathematics Concept

نويسنده/ مترجم: انجمن آمريکايی برای پيشرفت علم/ اکبر قراخانی بهار

Akbar Gharakhani Bahar

آدرس­ پست الکترونیکی نویسنده/ مترجم: [e-mail]

تاريخ تهيه: 1387

ارسال کننده: همفکران جامعه مجازی واژه - تاريخ ارسال: 1387

آدرس­ پست الکترونيکی ارسال کننده:

موضوع اصلی: رياضيات - موضوع فرعی: متدولوژی رياضيات

سه کليدواژه اصلی به ترتيب اهميت: طبيعت رياضيات، روش رياضی، تجريد رياضی

سه کليدواژه فرعی به ترتيب اهميت: نگرش رياضی، پژوهش رياضی، کاربرد رياضيات

 

چکيده مقاله

رياضيات علم الگوها و رابطه­ها و بررسی کننده روابط موجود بين مجردات، بدون نياز به وجود منشأ بيرونی برای آن­ها است. تفکر رياضی غالبا با تجريد آغاز می­شود. مفهوم تجريد متضمن استخراج تشابهات بين دو يا چند شيئی يا رويداد است. مجردات می­توانند از رشته­های ارقام در قالب اعداد تا اشکال هندسی و دستگاه­هايی از معادلات را شامل شوند. به خاطر اين تجرد و نيز اتکای به منطق و خلاقيت، رياضيات در مقايسه با ساير حوزه­های تفکر انسانی، جنبه­های عمومی­و کاربردی گسترده­تری دارد. خط اساسی در رياضيات شامل تعيين مجموعه کوچکی از نظرات و قواعد در حوزه مطالعه است، به طوری که با استفاده از آن­ها بتوان ساير نظرات و قواعد مورد توجه در آن حوزه مطالعه را به صورت منطقی استخراج کرد. رياضيات در حوزه­های مختلفی نظير موسيقی، پزشکی، مهندسی، کشاورزی، سياست، کسب و کار، ورزش، علوم اجتماعی و غيره کاربردهای مفيدی دارد. رياضيات نه فقط برای رياضی­دانان حرفه­ای، بلکه برای علاقمندان آن نيز به خاطر زيبايی و چالش برانگيز بودن آن از نظر ذهنی، جالب توجه است.

دریافت فایل PDF مقاله

مقدمه­ای بر مفهوم رياضيات

مقدمه

رياضيات به منطق و خلاقيت متکی است. رياضيات هم به خاطر کاربردهای گسترده آن در ساير حوزه­ها و هم به خاطر وجود علايق ذاتی انسان به آن، مورد توجه قرار دارد. رياضيات نه فقط برای رياضی­دانان حرفه­ای، بلکه برای علاقمندان آن نيز به خاطر زيبايی و نيز چالش برانگيز بودن آن از نظر ذهنی، جالب توجه است. برای ساير افراد و از جمله برای دانشمندان ساير علوم و مهندسين، ارزش رياضيات به خاطر کاربرد و کمک آن در حوزه­ کاری آنان است.

 

به خاطر نقش بی­مانند رياضيات در ساير شاخه­های علوم و تکنولوژی، دانستن مبانی و درک طبيعت رياضيات برای افرادی که در آن حوزه­ها به کار و فعاليت مشغول هستند، لازم است. بدين خاطر، دانشجويان ساير رشته­ها نيز به دانستن رياضيات، داشتن جنبه­هايی از تفکر رياضی و آشنايی با مفاهيم و مهارت­های کليدی و اساسی در رياضيات نيازمندند. در اين مطلب، به رياضيات به عنوان يکی از ارکان اصلی قابل اتکاء در کارهای علمی و به عنوان فرايندی برای انجام تفکر علمی پرداخته شده است.

 

الگوها و رابطه­ها

رياضيات علم الگوها و رابطه­ها است. از ديد نظری، رياضيات بررسی کننده روابط موجود بين مجردات است، بدون اين که اين مجردات لزوما دارای منشأ بيرونی در دنيای حقيقی باشند. مجردات می­توانند از رشته­های ارقام در قالب اعداد تا اشکال هندسی و دستگاه­هايی از معادلات را شامل شوند.

 

به عنوان مثال در موردی نظير «آيا فاصله بين اعداد اول متوالی از يک الگوی معين تبعيت می­کند؟»، رياضيات در پی آن است که الگويی را بيابد و يا ثابت کند که هيچ الگويی وجود ندارد. رياضيات به اين که اين الگو و دانستن آن به چه دردی می­خورد، کاری ندارد. همچنين در بررسی اشکال هندسی، رياضيدانان به بستگی آن­ها با اشکال فيزيکی متصور از آن­ها در دنيای واقعی، خيلی پای­بند نيستند.

 

يکی از خطوط اساسی در رياضيات نظری، تعيين مجموعه کوچکی از نظرات و قواعد در هر حوزه مطالعه است، به طوری که با استفاده از آن­ها بتوان ساير نظرات و قواعد مورد توجه در آن حوزه مطالعه را به صورت منطقی استخراج کرد. رياضی­دانان نيز نظير ساير دانشمندان وقتی که بخش­های ناشناخته­ای از رياضيات شناخته می­شود، خوشحال می­گردند.

 

بخشی از احساس زيبا بودن رياضيات که باعث جذب افراد به آن می­شود، در استادانه يا پيچيده بودن خود يافته­ها نيست، بلکه برعکس به خاطر ساده­تر کردن نمايش پيچيدگی­ها و اثبات­ها با استفاده از رياضيات است که گاه انسان را به وجد می­آورد. با پيشرفت رياضيات، بين قسمت­های مختلف آن که در گذشته به صورت مستقل بوده­اند، بستگی­های بيشتری پيدا شده است. به عنوان مثال، می­توان به رابطه بين علائم جبری و نمايش فضايی اشکال هندسی اشاره کرد. اين بستگی­ها باعث تحکيم خود رياضيات شده­اند و ضمنا به تحکيم اين که جهان دارای ساختار کلی يکسانی است، کمک کرده­اند.

 

رياضيات همچنين به عنوان علمی کاربردی است. امروزه اکثر رياضی­دانان توجه خود را روی حل مسائلی که از تجربه در دنيای واقعی منشأ می­گيرند، متمرکز می­کنند. آنان همچنين به دنبال جستجو و يافتن الگوها و روابط در دنيای پيرامونی هستند و در اين کار از همان فنون مورد استفاده در رياضيات نظری استفاده می­کنند.

 

به عنوان مثال در کاربردی نگاه کردن به وجود الگو در فاصله بين اعداد اول که در بالا به آن اشاره گرديد، به جای کار مجرد قبلی روی چنين الگويی، اين بار رياضی­دانان به منظور يافتن نظام جديدی برای کدگذاری اطلاعات، به يافتن اين الگو اقدام می­کنند. همچنين به عنوان مثال، آنان موضوع سطح و حجم را به عنوان گامی برای ايجاد مدلی برای مطالعه رفتار کريستال­ها در نظر می­گيرند.

 

نتايج ناشی از رياضيات نظری و عملی، غالبا حوزه­های همديگر را تحت تاثير قرار می­دهند. کشفيات در حوزه رياضيات نظری ممکن است سال­ها و گاه تا ده­ها سال بعد جنبه کاربردی پيدا کنند. به عنوان مثال، مطالعات روی ويژگی­ رويدادهای تصادفی، بعدها در حوزه علوم اجتماعی و طبيعی کاربرد پيدا کرد.

 

بر عکس، در موردی نظير حل مسئله محاسبه هزينه مکالمات تلفنی راه­دور که نياز صنعت مخابرات بوده، رياضی­دانان مجبور بوده­اند تا در مورد رياضيات شبکه­های پيچيده، کشف­های بنيادينی به عمل آورند. همچنين بر عکس ساير علوم، رياضيات نظری از طريق دنيای واقعی محدود نشده، بلکه در بلند مدت حتی به درک بهتر دنيای واقعی کمک نيز کرده ­است.

 

رياضيات، علم و تکنولوژی

به خاطر تجرد، رياضيات در مقايسه با ساير حوزه­های تفکر انسانی، جنبه عمومی­تری دارد. کاربردهای مفيد رياضيات از موسيقی گرفته تا پزشکی، مهندسی، کشاورزی، سياست، کسب و کار، ورزش، علوم اجتماعی و غيره متفاوت است. رابطه بين رياضيات و ساير حوزه­های بنيادی و کاربردی، به اندازه کافی مستحکم است. دلايل آن به قرار زير است:

• اتحاد بين علم و رياضيات دارای تاريخی طولانی است و به قرن­ها قبل برمی­گردد. علم همواره مسائل جالبی را برای حل به وسيله رياضيات تدارک می­بيند. رياضيات نيز همواره ابزارهايی قوی برای استفاده از آن­ها در تحليل داده­ها در حوزه علم، فراهم می­کند. گاه الگوهای مجردی که توسط رياضی­دانان و برای خود مورد مطالعه بوده­اند، بعدها، به شدت در حوزه­های علمی ديگر مؤثر افتاده­اند. علم و رياضيات هر دو در پی کشف الگوها و روابط عمومی بوده و از اين نظر هر دو بخشی از يک تلاش هستند.
• رياضيات زبان اصلی علم است. زبان نمادين رياضی در بيان روشن نظرات علمی، بی­نهايت ارزشمند است. به عنوان مثال، فرمولی نظير a=F/m ، تنها به مفهوم نشان دادن بستگی بين شتاب يک جسم با نيروی وارده بر آن و جرم جسم نيست، بلکه، بيان دقيقی از رابطه کمی بين آن­ها نيز می­باشد. به بيان ديگر، رياضيات به عنوان دستور زبان علوم و قاعده­ای برای تجزيه و تحليل نظریات و داده­های علمی است.
• رياضيات و علم دارای جنبه­های مشترک بسياری هستند. اين جنبه­ها به خصوص با ايجاد کامپيوترهای الکترونيکی پر قدرت بر اساس اصول رياضی، که باعث استفاده از تکنولوژی به روشی مؤثر در همه شاخه­های علم شده است، تقويت گرديده است.
• رياضيات و علم دارای رابطه مفيد و سودمندی با همديگر هستند. به عنوان مثال، منطق رياضی به طراحی سخت­افزار کامپيوتر و تکنيک­های برنامه­نويسی آن کمک­های شايانی کرده است. رياضيات همچنين در تشريح سيستم­های پيچيده که رفتار آن­ها بعدها با کامپيوتر همانندسازی شده­اند، در خدمت مهندسان نيز بوده است. در اين همانندسازی­ها، به منظور يافتن طرح­های بهينه، جنبه­های مختلف طراحی و شرايط عملياتی آن­ها می­توانند تغيير کنند. تکنولوژی کامپيوتر امروزه حوزه­های جديدی را در زمينه­های بسياری به روی انسان باز کرده و هر روز به حل مسائل غير قابل حل در گذشته، کمک می­کند.

 

رياضيات و پژوهش

استفاده از رياضيات برای بيان نظرات يا حل مسائل، حداقل شامل سه مرحله زير است:

1.     نمايش برخی جنبه­های اشياء يا رويدادها به صورت تجريدی

2.     کار روی تجريدها با استفاده از قواعد منطق به منظور يافتن روابط جديد بين آن­ها

3.  بررسی اين که آيا روابط جديد چيز مفيدی را در مورد اشياء يا رويدادهای اوليه به دست می­دهند يا خير.

 

تجريد و نمايش نمادين

تفکر رياضی غالبا با تجريد آغاز می­شود. مفهوم تجريد متضمن استخراج تشابهات بين دو يا چند شيئی يا رويداد است. تمامی مواردی که بين چند شيئی يا رويداد مشترکند، فارغ از فيزيکی يا غيرفيزيکی بودن آن­ها می­توانند به وسيله  نشانه­هايی از قبيل اعداد، حروف، نمودار، سازه­های هندسی و يا حتی کلمات بيان شوند.

 

به عنوان مثال، اعداد کامل خود تجريدی از اندازه مجموعه­های اشياء و رويدادها يا ترتيب چيزهای مختلف در داخل يک مجموعه هستند. همچنين دايره به عنوان يک مفهوم، تجريدی از شکل صورت انسان و غيره است. حرف A می­تواند به عنوان تجريدی از مساحت سطح اشياء با هر شکل، شتاب اشياء در حال حرکت يا تمامی اشيايی که دارای خصوصيت معينی هستند، تلقی گردد. همچنين علامت + به عنوان نشانی برای عمل جمع فارغ از نوع موارد قابل افزودن به همديگر است. تجريدها نه تنها از اشياء يا فرايندهای منسجم بلکه از ساير تجريدها نيز قابل ساخت می­باشند. به عنوان مثال اعداد فرد يا زوج خود تجريدی از تجريد اعداد به مفهوم عام هستند.

 

تجريدها کار با مورد بررسی را تسهيل می­کنند و رياضی­دانان را قادر می­سازند تا آنان بتوانند تنها روی آن جنبه­هايی از اشياء و رويدادها که از نظر بررسی مهم هستند، تمرکز کنند. با کاربرد رياضيات ديگر مهم نيست که مثلا يک مثلث مثلا نماينده بادبان يک قايق باشد يا زاويه نور رسيده از يک ستاره را نشان دهد. رياضی­دانان از يک مفهوم در زمينه­های مختلف استفاده می­کنند و نتايج غالبا عالی و مفيد هستند. در تجريد رياضی غالبا سعی می­شود که تمامی جنبه­های دارای نقش مؤثر و تعيين کننده در رويدادهای مورد مطالعه، در نظر گرفته شوند و چيزی از قلم نيفتد.

 

کار با عبارات رياضی

بعد از تجريد و نمايش نمادين آن­ها، نماد­ها می­توانند با استفاده از قواعد دقيق رياضی به روش­های مختلف تحت عمليات مختلف قرار گيرند. بعضی مواقع اين کار بر اساس هدف ذهنی معينی انجام می­گيرد. بعضی مواقع ديگر نيز کار بر اساس آزمايش و اين که در عمل چه اتفاقی رخ می­دهد، انجام می­شود. گاه ممکن است عمليات رياضی قابل انجام روی نمايش­های نمادين از اشياء و رويدادهای مورد مطالعه به آسانی از روی نماد­ها قابل تشخيص باشند و بعضی مواقع ديگر نيز ممکن است به کار توأم با آزمون و خطا نياز داشته باشند.

 

عبارات رياضی به صورت رشته­های متشکل از نمادها بيان می­شوند. به عنوان مثال نماد A به عنوان نماد نشان دهنده مساحت هر شکل مربع، ممکن است با نماد a به عنوان ضلع مربع در عبارت A=a² برای نمايش رابطه بين ضلع و مساحت مربع مورد استفاده قرار گيرد. همان­طور که ديده می­شود اين رابطه تساوی نشان می­دهد که مساحت يک مربع تنها به ضلع آن بستگی دارد و به چيز ديگری وابسته نيست.

 

با استفاده از قواعد جبر معمولی، مثلا می­توان نشان داد که در صورت دو برابر شدن ضلع يک مربع، مساحت آن چهار برابر می­شود. به طور کلی دانش ناشی از اين رابطه رياضی به ما نشان می­دهد که در صورت تغيير ضلع مربع، در مورد مساحت آن و يا بر عکس در صورت تغيير مساحت مربع در مورد ضلع آن چه اتفاقی می­افتد.

 

ديد رياضی به روابط تجريد شده از دنيای واقعی، در طول هزاران سال شکل گرفته و در حال حاضر نيز در حال توسعه و يا بازنگری قرار دارد. اين کارها اگر چه از تجربيات اوليه­ای نظير شمردن اشياء و يا اندازه­گيری آن­ها که مورد نياز انسان بوده شروع شده­اند، با اين حال، لايه­های مختلفی از تجريد را گذرانده و در حال حاضر بيش از آنچه که جنبه نمايش ظاهری داشته باشند، به منطق بستگی دارند.

 

از يک نظر، کار روی نمايش رياضی يک تجريد نظير انجام يک بازی است. اينجا نيز نظير يک بازی کار با قواعد اوليه­ای شروع می­شود و سپس با حرکت در چارچوب آن قواعد، ممکن است قواعد جديدی ابداع يا روابطی بين قواعد قبلی پيدا شود. آزمون نظرات جديد به دست آمده بايد روشن ­کند که نظرات به اندازه کافی مستحکم و پايدارند و از نظر منطقی به قواعد ديگر بستگی دارند.

 

کاربرد رياضی

فرايندهای رياضی می­توانند به نوعی مدل از چيز مورد نظر منجر شوند تا از آن بتوان در مورد خود آن چيز ديدی به دست آورد. کار رياضی روی موارد تجريد شده­ ممکن است به چيز مفيدی در مورد شيئی مورد مدل منجر شود يا نشود. به عنوان مثال، وقتی دو ليوان آب به سه ليوان آن افزوده شود، همان­طور که رابطه رياضی 5=3+2 نيز نشان می­دهد، 5 ليوان آب به دست خواهد آمد. حال اگر دو ليوان شکر به سه ليوان چای داغ افزوده شود، در اين صورت رابطه رياضی بالا ديگر درست نخواهد بود. در عوض به عنوان مثال، نتيجه چنين عملی ممکن است چهار ليوان چای بسيار شيرين باشد.

 

همان­طور که از مثال بالا روشن می­گردد، افزودن ساده حجم­ها به همديگر، در مورد اول صحيح و در مورد دوم ناصحيح است. پيش­بينی صحيح بودن يا نبودن رابطه رياضی مربوطه، نيازمند دانستن پيشاپيش چيزهايی در باره شرايط فيزيکی مربوطه است. برای تفسير درست روابط رياضی، نياز به اين است که بيش از خود آن روابط با کار در گير شويم و چيزهايی را در باره آن بدانيم و تشخيص دهيم  که اين روابط تا چه اندازه با خصوصيات اشياء مورد نظر تطابق دارند.

 

 گاه احساس عمومی برای دانستن درستی يا نادرستی يک رابطه رياضی کفايت می­کند. به عنوان مثال اگر قد کسی در حال حاضر عدد معينی باشد و سالانه رشد معينی برای آن فرض شود، در اين صورت احساس عمومی برای محاسبه قد او در چند سال بعد اين است که فرمول خط مستقيم نظير (قد فعلی) + (ميزان افزايش سالانه * سال­های مورد نظر بعد)، در اين مورد درست نيست و لازم است که برای آن تدبير رياضی ديگری نظير منحنی که تنها ارزش­های معينی در محدوده معينی را می­تواند بگيرد، انديشيده شود. گاهی نيز نظير مورد تغييرات قيمت سهام در بازار بورس يا وقوع زلزله، دانستن چگونگی درستی نتايج بسيار سخت و دشوار است.

 

اغلب تنها يک دور استدلال رياضی نتيجه مفيد به دست نمی­دهد و لازم است تا در نموده­ها و خود عمليات تغييراتی را مورد بررسی قرار داد. به بيان ديگر دايم بايد عقب و جلو رفته و چيزها و شرايط مختلفی را آزمود و نتايج راسنجيد. برای اين کار هم غالبا هيچ قاعده مشخصی وجود ندارد. اين کار ممکن است به نتايجی که رضايت­بخش نيستند منجر شود و يا با انجام دورهای منتهی به بن بست توأم باشد. کار به قدری تکرار می­شود تا نتايج به دست آمده رضايت­بخش باشند.

 

اما سؤال اين است که چه درجه­ای از دقت کافی است؟ پاسخ سؤال به اين بستگی دارد که نتيجه چگونه مورد استفاده قرار خواهد گرفت. آيا برای آن استفاده اين دقت مورد قبول است و يا لازم است تا مدل­سازی­ و محاسبات بيشتری انجام گيرد تا نتايج دقيق­تری به دست آيد. به عنوان مثال، وجود يک در صد خطا در شکر موجود در يک شيرينی ممکن است چندان مهم نباشد و لی اين در صد خطا در مورد محاسبه مدار سفاين فضايي باعث گم شدن آن­ها در اعماق فضا و هدر رفتن ميلياردها هزينه انجام شده می­گردد. اهميت «چه ميزان دقت مورد نياز است» و يا «چقدر خطا قابل قبول است» باعث شده است تا فرايندهای رياضی خاصی برای ميزان دقت و خطا در کارها تدبير شود و بسته به آن­ها معلوم شود که برای دستيابی به دقت مورد نظر، چه ميزان محاسبات بايد انجام گيرد.